制作开发app多少钱 小乐数学科普：F·威廉·劳维尔（F. William lawvere，1937-2023）：为数学的和洽而本旨终身
作家：Anders Kock（安德烈亚斯·科克制作开发app多少钱，丹麦奥胡斯大学）2023-6-30
译者：zzllrr小乐，数学科普微信公众号 2023-7-3
弗朗西斯·威廉·劳维尔（Francis William Lawvere）是20世纪末于今最有影响力的东谈主物之一，因为他通过革命限度论器用来和洽和简化数学。本文尝试描写这一历程中的一些里程碑和愿景。
1 连气儿统物理（Continuum physics，即连气儿介质物理）
劳维尔降生于1937年2月，是印第安纳州芒西的一个农民的女儿。他在印第安纳大学学习物理学，很快就合计推理需要接收更多可用的以及更明确的基础，尤其是在连气儿统（连气儿介质）物理学中。他在印第安纳州是施普林格期刊《感性力学与分析档案 Archive for Rational Mechanics and Analysis》创始东谈主克利福德·特鲁斯德尔（Clifford Truesdell）的学生。特鲁斯德尔也有雷同的基础议程。劳维尔此时也曾看到了限度论要领的必要性。第一步是为了结束“限度能源学 categorical dynamics”（其中一些在1960年代末结束）。重要的一步是他对函数空间造成的限度论表述，用到了通用性（陪同函子 adjoint functor）：笛卡尔闭限度（Cartesian closed categories）。
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F.威廉·劳维尔，布拉加，2007年3月
特拉斯德尔暗里操办了艾伦伯格，以促使劳维尔行为艾伦伯格的博士生参预哥伦比亚大学（1960-63），其中1961-63年有一次中断，那时劳维尔去了加利福尼亚，从行家塔斯基（Tarski），斯科特（Scott）等何处学习更多的聚会论和逻辑。在加州时期，劳维尔完成了他（在哥伦比亚大学）对于代数表面的函子语义学的博士论文，其中格外是代数表面的主张所以无暗示的方式给出的。
2 聚会的限度
对于劳维尔本东谈主来说，他寻找可用和可教的数学基础的更变点，是1963-64年在俄勒冈乡镇德学院担任助理教会。2007年在布拉加 （葡萄牙）玛丽亚·曼努埃尔·克莱门蒂诺（Maria Manuel Clementino）和乔治·皮卡多（Jorge Picado）对劳维尔进行的繁多采访中[2]，劳维尔说：
在里德，我被指示，微积分的第一年应该专注于基础，第二年教公式。因此[...]我花了几个星期的准备时刻试图野心基于ZF（策梅洛-弗兰克尔，Zermelo–Fraenkel）聚会论的微积分课程。关联词，稳固评估之后发现，从避讳微分和积分的麇集档次结构中，界说层数太多，而无法在一年内完成这些档次。康托尔无结构聚会的限度结构似乎既通俗又接近。因此，聚会限度的基本表面产生于纯正的实践栽培需要。
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F. W.劳维尔， A. Heller， R. Lavendhomme （后排）和A. Carboni在葡萄牙科英布拉的CT99
劳维尔的许无数学建设（主张，构造和定理）是由于远程革命微积分和工程数学素质的成果，何况这些远程导致他得出论断，数学（即使是微积分课程）的可行基础，不成在ZF中使用x∈y（成员）来表述，但不错把柄映射的主张来表述ƒ: A → B（过头合成）。劳维尔，在2007年布拉加的采访中说[2]:
从玄学上讲，不错说这些发展守旧了，即使在聚会论和初等数学中，正如在高等代数和拓扑学中永久以来所感受到的那样，这亦然正确的，即数学的实践并不存在于实践中，（∈“属于”是不可约的谓词它看起来很像实践），而是存在于神志中（举例由通用映射属性界说，有影响的主张是同构不变结构）。与代数和拓扑学一样，这里用于精准抒发和有用处理这些想法的具体时刻机器，是由Eilenberg-Mac Lane的限度论，函子和当然变换表面提供。
在里德学院学习一年后，劳维尔去了苏黎世，1964-66年他在何处走访了贝诺·埃克曼数学研究所。埃克曼得手引诱了多位限度论学家参与。值得贵重的是，单据（monad）的主张以及它与代数表面和同调性的关系被设立（见[3]）。
从苏黎世启程，不错参加在德国南部隔邻的Oberwolfach（奥伯沃尔法赫）举行的研讨会。在这里，劳维尔遭受了彼得·加布里埃尔（Peter Gabriel），并向他学习了格罗滕迪克（Grothendieck）的几何学要领，如SGA4中所述[1]。
3 格罗滕迪克
格罗滕迪克的使命对劳维而自后的使命产生了根人道的影响。他们第一次碰面是在尼斯的ICM（1970年海外数学家大会），他们齐是受邀演讲者。劳维尔在这里公开反对格罗滕迪克在一个单独的演讲中宣传他的“生涯”知晓。
1973年，他们齐来访布法罗（Buffalo）。劳维尔在布拉加的采访中说：
我明晰地难忘他指令我代数几何的基本见地，如“点具有自同构”。1981年，我去法国南部的一块薰衣草田中他住的石屋看望他，研究他对一个花式的看法[...]。我临了一次见他是在1989年的归拢个方位（Aurelio Carboni从米兰开车送我去何处）：他彰着很欢悦见到我，但因为宗教誓词不言语；他在一张纸上写谈，他也被不容操办数学，尽管很快他的数学灵魂得手了，留给我一些稀奇的数学条记。
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1997年3月在葡萄牙科英布拉讲学
4 限度能源学和详尽微分几何
在1967年的大部分时刻里，劳维尔是芝加哥大学的助理教会。劳维尔在这里运行在高档讲座系列中应用格罗滕迪克的拓扑斯（topos）表面，围绕连气儿介质力学的简化基础问题，灵感来自Truesdell（特鲁斯德尔）和Noll（诺尔）的公理化。该系列Mac Lane，Jean Bénabou，Eduardo Dubuc等东谈主包括作家（那时正在劳维尔的携带下完成一篇论文）出席了会议。研讨会的格外产出不是实足锻真金不怕火的限度能源学，而是它的能源学基础的想法：对于假设的 “无限小”对象D（诓骗假设空间限度的笛卡尔闭结构），具有可暗示的切丛结构T(M) = Mᴰ。这种“能源学”（kinematic）想路的一个方面自后被一些东谈主发展为一个锻真金不怕火的“详尽微分几何”（synthetic differential geometry）。
代数几何的贤慧，这是限度能源学中发展的基础，也不错引入并应用在模范光滑微分几何；劳维尔使用代数表面（在他1963年论文的真义上），即n元运算是光滑函数ℝⁿ → ℝ的表面，至关紧迫的是不条目使用生成元和关系暗示。
5 初等拓扑斯、代数几何和逻辑
劳维尔于1968-69年回到苏黎世科学研究所（Forschungsinstitut）。此时的他，也曾更信服，拓扑斯不仅行为限度能源学的配景，而且适用于聚会论和逻辑的主张：布尔值模子，和力迫（如科恩Cohen 1963年对于连气儿统假设的使命）。在布拉加的采访中，他说：
这些彰的确足不同的拓扑斯，波及无限小的知晓和高档逻辑，可能是归拢个通俗公理表面的一部分，是我 1967 年芝加哥课程的承诺。直到我第二次待在科学研究所之后，它才成为现实。1968-69年在瑞士苏黎世的时间，我发现了拓扑斯的幂集函子是研究以基本术语抒发造成相伴层（associated sheaf）的运算问题的成果，制作app软件要多少钱以及1969-1970之后通过我与迈尔斯·蒂尔尼（Myles Tierney）的合作 [...]。
此次合作发生在哈利法克斯（加拿大）：1969年，劳维尔在哈利法克斯的达尔豪西大学获取了有名的基拉姆教会职位，那时被允许邀请十几个合作家（其中包括蒂尔尼），通常得到基拉姆的守旧。这意味着在1969年至1971年时间，达尔豪斯成为一个淆乱的方位；格外是在数学上，初等拓扑斯的主张在这里逐渐明确结晶。值得贵重的是，劳维尔组织了SGA4[1]的预印本版块（exposé I-IV）被分发给他的研讨会的参与者（SGA4是阿廷，格罗滕迪克和韦迪尔的 “Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas”，直到1972年才谨慎出书）。
关联词，在1971年，达尔豪西的梦之队被隔绝了；大学行政部门断绝与劳维尔续约协议，因为他的政事行为抗议越南干戈和反对特鲁多的《战时条例》，以恐怖主义危境为借口暂停民事目田。（但在1995年，达尔豪斯主理了行为庆祝限度论50年，劳维尔有参与）
劳维尔在1971年邋遢哈利法克斯前夜组织的一次会议，有紧迫的标题：“拓扑斯，代数几何和逻辑“，此次会议的论文集发表于1972年[6].
1971年离开哈利法克斯后，劳维尔成为奥胡斯（丹麦）的客座教会（1971-72年），以及佩鲁贾（意大利）的客座教会（1972-73年）。这些年，从哈利法克斯带来的拓扑斯表面的新见地，得到巩固和更平淡传播。另外，1973年劳维尔临了假寓在布法罗（好意思国），以时短时长的拜访停留，与他的欧洲一又友和合作家保握密切操办；这包括1980-81年在IHÉS（巴黎）的一年。
咱们在哈利法克斯和自后学习的拓扑斯格外是“gros toposes 大拓扑斯”（如单纯集的拓扑斯），与“petit toposes 小拓扑斯”（如拓扑空间上的层拓扑斯）相对。这是SGA4，IV.4.10中所作的离别。这种区别对劳维尔而言是研究拓扑斯限度的一种输入，即在它们的函子互操办系中的拓扑斯。这些研究是由好多研究东谈主员拓荒的，并纪录在许无数学专著、著作会通议中（有或莫得会议要领）。劳维尔相等积极地参与会议，经常行为特邀主讲东谈主；他对获取他的想法的钞票以及愿景以书面神志写下来不太积极。举例，他1967年在芝加哥对于限度能源学的创举性演讲，直到1978年才以书面神志在奥胡斯举行的握续“通达日”夏日会议中处理，主题为“几何中的拓扑斯表面要领”[5]。
1982年，劳维尔（与他在布法罗的共事Steve Schanuel史蒂夫·沙努埃尔沿途）在布法罗组织了一次会议，“连气儿介质物理学中的限度”，连气儿介质物理学的好多主要研究东谈主员也参与其中，比如Truesdell（特鲁斯德尔）和Noll（诺尔）。会议纪录中的三篇著作 （发表在[8]) 处理热力学基础问题。
劳维尔于1977年在达勒姆紧迫的大型夏日会议的科学携带委员会中，其“层的应用” [4]，符号着在数学和物理表面主张化中诓骗相对通俗的主题的禁锢。劳维尔在达勒姆作念了一个对于“热力学基础中的限度”的演讲，关联词，我无法找到书面纪录。另一方面，照实操办于劳维尔在此次会议上的演讲（有激烈的申辩）的纪录，标题是“数学的逻辑”，劳维尔在演讲中说了他对数学玄学和发展的看法。我把它包括在内，因为如若莫得反馈他的政事/玄学生活和使命中不当协的脾气，那么劳维尔的讣告是不好意思满的：
在这场达勒姆申辩中，劳维尔在演讲运行时说（把柄我的条记和顾忌）：
数学是研究空间神志和数目关系的科学。数学的想法是什么？其想法是澄澈这种关系，以便行为东谈主们合营起来贬责分娩战斗中的问题（不是数知识题）以及这种战斗的崇拜性（即科学实验）的基础。
在演讲的早期阶段，也曾出现了一位不雅众一个打断性的问题（可能是修辞）说：“分娩的想法是什么？” 劳维尔想了好一忽儿才回应：“带你来这里！”
小程序开发在演讲的后期，劳维尔说：
数学逻辑的想法；澄澈和简化学习、使用和数学的发展。[...]辩证的方式：还有一个反想法：暧昧、复杂化和紧闭数学的学习、使用和发展。格外是，通过促进来冻合髻展：磋议免强一切齐参预一个自愧弗如的框架[...]。这两个想法在咱们每个东谈主的内心齐在互相战斗。[...]闲居，反想法胜过想法。这是因为反想法适合管辖阶层的利益。这是往常100年来发生了雄壮变化的事情。把持资产阶层的利益反对分娩力的发展。
6 公理内聚
这不是一个提供（我也无法提供）劳维尔数学和玄学使命的所有方面好意思满综述的方位。再提供一些重要词：概率、限度逻辑、方针/纤维限度、度量空间行为充实后的限度，语言学，平淡与密集数目，物理量限度，格拉斯曼，公理内聚。
正如劳维尔2007[7]所讲，公理内聚的想法尤其导致了最近的新发展。
以下是2007年出书物的援用：
需要明确的内聚科学来证据能源学数学表面的各式配景模子。这么的科学需要有挥霍的发挥力，来证据这些配景与其他数学限度有何不同，以及相互之间也不同，但又如斯合营，以致于它们不错互相滚动。这种互相调理的日常例子是天气预告员从有限元要领（不错看作是组合拓扑斯中的分析）到连气儿介质热力学方程（不错看作是光滑函数和漫步所在的光滑拓扑斯的分析）的应用。
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F. W. 劳维尔与作家在苏黎世Odeon咖啡馆， 1966年秋天
这种内聚公理科学的基础是一串四个函子p! ⊣ p^* ⊣ p_* ⊣ p^! ,字符串中的每个字符串齐与下一个字符串左陪同。此类字符串的示例 在拓扑中很练习：
p! 将某空间的贯穿组件的聚会关联到（充分好的）该空间，p^* 将聚会上的破裂空间结构关联到该聚会，P_* 将其点集关联到该空间，临了P^! 将聚会上的协破裂空间结构关联到该聚会。在拓扑斯限度中，这种字符串的属性组成了上述引文中条目的诸多诀别。
劳维尔建议的好多想法中惟有一部分也曾写出来，更无须说发表、成形，但只以种子的神志存在于身边东谈主的想想和条记中。
也许，将来硕果累累的植物将从这些种子中长出来。如若种子更容易获取，种子的发芽将得到加强。一些设立此类档案的行为正在开展，格外是在 https://www.acsu.buffalo.edu/~wlawvere
对于作家：
安德斯·科克（Anders Kock）是丹麦奥胡斯大学数学系名誉教会。他于1963年毕业于奥胡斯大学，并于1963-67年在芝加哥和苏黎世的劳维尔携带下攻读博士学位。他于1969-70年在哈利法克斯担任博士后，并于1971-72年在奥胡斯与劳维尔合作。1973年5月、1978年5月、1983年6月，他在奥胡斯组织了为期两周的通达日研讨会（劳维尔参加了这些研讨会），并从1966年到2018年参加了好多限度表面会议和研讨会。他是几本书的作家，如《Synthetic Differential Geometry 详尽微分几何》（剑桥大学出书社，1981年，2006年第2版）和《流形的详尽几何》（剑桥大学出书社，2010年）。
参考贵府
[1] M. Artin, A. Grothendieck and J. L. Verdier, Théorie des topos et cohomologie etale des schémas. Tome 1: Théorie des topos. Lecture Notes in Math. 269, Springer, Berlin (1972)
[2] M. M. Clemetino and J. Picado, Inteview with F. William Lawvere. http://www.mat.uc.pt/~picado/lawvere/interview.pdf (2007)
[3] B. Eckmann (ed.), Seminar on triples and categorical homology theory (ETH 1966/67). Lecture Notes in Math. 80, Springer, Berlin (1969)
[4] M. P. Fourman, C. J. Mulvey and D. S. Scott (eds), Applications of sheaves. Proceedings of the research symposium on applications of sheaf theory to logic, algebra and analysis (Durham 1977), Lecture Notes in Math. 753, Springer, Berlin (1979)
[5] A. Kock (ed.), Topos theoretic methods in geometry, Various Publications Series 30, Aarhus University, Aarhus (1979)
[6] F. W. Lawvere (ed.), Toposes, algebraic geometry and logic. Lecture Notes in Math. 274, Springer, Berlin (1972)
[7] F. W. Lawvere, Axiomatic cohesion. Theory Appl. Categ. 19, no. 3, 41–49 (2007)
[8] F. W. Lawvere and S. H. Schanuel (eds.), Categories in continuum physics. Lecture Notes in Math. 1174, Springer, Berlin (1986)
[9] F. W. Lawvere and S. H. Schanuel, Conceptual mathematics. Cambridge University Press, Cambridge (1997) (2nd ed. 2009)
[10] https://euromathsoc.org/magazine/articles/143
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