天地中的基本力之一是弱力。弱力触及将原子勾通在一皆或将它们分开......

作家：Ursula Whitcher（乌苏拉·惠彻） 2023-7-1

译者：zzllrr小乐，数学科普微信公众号 2023-7-4

你神话过句子末尾的句号（period）和正弦波的周期（period，该英文单词一词多义，译者注）。周期这个词在数论中也有独特的含义。这些周期对于处罚粒子物理常识题颠倒有效。在本月的专栏中，我将告诉你相关周期是什么、物理学的来历以及扫数这些与甜甜圈几何口头的关系的更多信息。

从甜甜圈到积分

也许你听过这么一个见笑：拓扑学家无法差异咖啡杯和甜甜圈。（若是你不熟练，请搜检 Keenan Crane 和 Henry Segerman 绘画的相关两者变换的精采插图。）

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几何学家好像差异咖啡杯和甜甜圈。咱们致使不错差异不同类型的甜甜圈。

举例，这是一个厚而甜的甜甜圈：

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一个厚厚的饼状甜甜圈，上头隐蔽着松软的糖

（像片由5th Luna拍摄， CC BY-NC 2.0）

这是一个薄脆的甜甜圈：

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一个薄脆的甜甜圈，中间有个大孔

（像片由Janet Bianchini拍摄， CC BY-NC 2.0）

但甜甜圈的几何口头是如斯山外有山，一朝你运行检验它，就很难再沟通其他事情了！

让咱们革命式地描述一下两个甜甜圈之间的区别。联想化的数学圆环曲面称为环面（torus，复数tori）。咱们不错使用两个圆来表征圆环的口头，一个圆围绕外部，另一个圆穿过中心的孔。在一个厚厚的饼状环面上，这两个圆的大小约莫换取。

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联想化数学的厚厚的甜甜圈，其圆围绕中心孔并通过中心孔。

在一个薄脆的圆环面上，外圆比内圆大得多。

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联想的数学的薄脆甜甜圈，大圆围绕中心孔，小圆穿过中心孔

在这些示例中，圆很容易测量。但偶然环面以更复杂的方式出现。举例，假定x和y是复数变量，t是复数参数。沟通方程的解

y² = x(x-1)(x-t)

这便是著明的（对于数论学家来说）勒让德椭圆弧线（elliptic curve）族。若是咱们在“无尽远”处引入一个解，那么从拓扑学上来说，它便是一个环面族。很难绘画两个复变量方程的解，但咱们不错绘画实数值。当设参数t等于3 时，如下所示：

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具有两个实数重量的椭圆弧线

你不错将绘画实数点的图形看作以一定角度切开甜甜圈。在此图中，你不错看到其中一个圆的歪斜版块和第二个圆的一部分。

测量这两个圆的长度很难办。咱们不错尝试微积分课上的一个通用数学战略：成就一个积分来测量弧长。在这种情况下，相宜的积分是：

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这里，积分是在环面/椭圆弧线中相宜的浮浅闭合弧线γ上进行的。

但有一个问题！我将用一张容易污染的橙色猫的漫画来解释它。

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画了一只睁大眼睛的猫，它说哇，这个积分果然很难！

猫莫得说谎：这个积分果然很难。微积分课上的程序时候不起作用。事实上，这个积分莫得阻滞局面的代数解。

周期和微分方程

积分 

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是一个周期的示例。对于数论学家来说，周期是一个通过在相宜的子空间上求代数抒发式的积分而得回的数字。（从时候上讲，咱们应该好像使用不等式和有理所有这个词的代数方程组来描述咱们正在积分的区域。）

许多料想的常量，举例 π 和 ㏒ 2，都不错写成周期。对于周期有好多大而料想的问题：举例，咱们何如描述哪些数字算作周期出现？使用积分运算，不错阐发周期相加或相乘会产生一个新周期。这使得周期具有环（ring）的结构。另一个悬而未决的大问题是描述周期环鼎沸的所相关联。

让咱们拒接顶来尝试意会咱们的特定周期。咱们知谈积分的成果是一个取决于参数t的数字，因此咱们将积分视为函数P(t)。咱们不错对其求导数：

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当咱们求导时，积分瑰丽下的抒发式变得愈加复杂，但它保捏换取的一般口头。通过找到一个公分母（common denominator），咱们不错详情P(t)、P'(t)和P''(t)之间的关系：

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这是一个微分方程！（它被称为Picard-Fuchs 方程，以法国数学家 Émile Picard（埃米尔·皮卡） 和德国犹太数学家 Lazarus Fuchs（拉扎鲁斯·富克斯） 的名字定名。）算作二阶微分方程，该 Picard-Fuchs 方程有两个孤独的解。这些解对应于环面上的两个不同的圆。

求解微分方程的程序方法是使用无尽级数（infinite series）。在这种情况下，咱们周期的微分方程的解之一不错写成以下级数：

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其平分子触及一个抒发式

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看起来很像高涨阶乘移动了1/2相通。若是咱们用简写 

1. 首尔FC成立于1983年，曾6次夺得韩国顶级联赛冠军，2次捧起韩国足协杯，做个app多少钱2次闯进亚冠决赛。

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 替换这个抒发式，咱们的级数就会得回更紧凑的暗意法：

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这是一个著明的级数，称为超几何级数（hypergeometric series），其分子参数为1/2，1/2；分母参数为1 （因为分母中唯唯一个阶乘）。扫数这个词级数偶然用更紧凑的瑰丽抒发：

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相关求解经过的更多疑望信息，包括第二个孤独周期的描述，请参阅 Don Zagier 的深刻论文《微分方程的算术和拓扑》  https://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/doi/10.4171/176-1/33/HirzebruchLectureECM2016.pdf 。我想向你展示表面物理学中出现的一个更复杂的周期。

日落和费曼图

在粒子物理学中，描述电子和光子等基本粒子之间的相互作用触及盘算繁难的积分。（更厄运的是，从数学家的角度来看，这些积分可能并不老是细密界说的！）物理学家使用复杂性不停增多的称为费曼图（Feynman diagrams）的图表来组织这些盘算。创建和操作费曼图有特定的轨则，但在初步类似时，东谈主们不错设想它们敷陈了粒子相遇、相互作用并可能阅历更正，然后分谈扬镳的故事。

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具有多个轮回的费曼图

天地中的基本力之一是弱力（weak force）。弱力触及将原子勾通在一皆或将它们分开。它是截止辐射性衰变经过并使碳14检测年事成为可能的力量。

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一棵树的横截面

东谈主们不错行使树木年轮来校准碳-14测年的方法。比尔·卡斯曼拍摄（大众鸿沟）。

要进行触及弱力的盘算，必须使用包含轮回的费曼图。这是一个带有两个轮回的费曼图，偶然称为日落图（sunset diagram）。

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看起来像穿过圆心的箭头的费曼图

好意思国数学家斯宾塞·布洛赫（Spencer Bloch）和法国物理学家皮埃尔·范霍夫（Pierre Vanhove）联手商议日落图。为了简化问题，他们使用了一个唯独两个时空维度的模子。（设想粒子跟着时候的推移沿着一条线来往移动。）他们假定相互作用经过中产生的扫数粒子都具有换取的质地m，有一个固定的外部动量K，而况他们输入了一个常数μ来均衡单元。成果所以下日落积分：

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这个积分果然颠倒颠倒难！

要害问题之一是其分母可能为 0。要了解更多对于那儿分母消散，咱们不错设

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成果是一个取决于参数 t的弧线族：

(1+x+y)(x+y+xy) - txy = 0

这是 t=11 的成果图。

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具有两个实数重量且对于直线 y=x 对称的椭圆弧线

该图的特征可能看起来很熟练。咱们有一个歪斜的圆和另一个圆的一部分——甜甜圈切片又回归了！换句话说，(1+x+y)(x+y+xy) - txy =0 是参数化的椭圆弧线族。

布洛赫和范霍夫聘用了一种看似熟练的战略。他们设

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 来简化单元，然后寻找一个触及J的微分方程，

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由于该微分方程的右侧不为零，因此求解它比求解咱们之前看到的微分方程更复杂。程序微分方程方法分两步处罚此类问题。最初，求解皆次方程（homogeneous equation），假定右侧为零。然后，找到非皆次方程（inhomogeneous equation）的解，其中右侧口角零常数。

布洛赫和范霍夫阐发，对于J⊝的Picard-Fuchs 微分方程的皆次解不错用经典超几何级数来写：

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这个级数用触及 1/12和5/12的高涨阶乘替换咱们之前看到的 1/2。我使用 − 来引导为级数变量插入了更复杂的抒发式。

为了求解完满的非皆次方程，咱们需要另一个独特常数Li₂(z)，称为二重对数（dilogarithm）。二重对数不错写成无尽级数。当|z| < 1时，

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二重对数亦然一个周期！咱们不错用二重积分来写它。

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因此，周期为咱们提供了一种精准的方法来描述日落图积分的解，同期亦然吃甜甜圈的根由！

进一步阅读

Spencer Bloch 和 Pierre Vanhove，日落图的椭圆二重对数。J. Number Theory 148 (2015), 328–364. MR3283183, arXiv:1309.5865 [hep-th]。

马克西姆·康采维奇和唐·扎吉尔，周期。Mathematics unlimited—2001 and beyond, 771–808, Springer, Berlin, 2001. MR1852188, IHEP

Stefan Müller-Stach， 什么是……周期？AMS 奉告， 2014年9月

Don Zagier，微分方程的算术和拓扑。欧洲数学大会，717–776， Eur. Math. Soc., Zürich, 2018. MR3890449, MPIM

唐·扎吉尔 (Don Zagier)，《超卓的二重对数》。J. Math. Phys. Sci. 22 (1988), no. 1, 131–145. MR940391, MPIM

致谢

我感谢英国剑桥艾萨克·牛顿数学科学商议场合 K 表面、代数环和动机同伦表面花样时代给以的支援和关怀理睬，我在该商议所的 30周年庆祝活动时代展示了该实验的一个版块。这项职责得回了 EPSRC （编号EP/R014604/1）的支援。

参考尊府

https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2023/07/01/period-math-physicals/

小乐数学科普：帽子戏法——好意思国数学会科普专栏

小乐数学科普：一种不相通的距离感——Maria Fox好意思国数学会专栏

小乐数学科普：矩阵是什么？——James Propp拔擢专栏

小乐数学科普：瞻望友谊和其他料想的图机器学习任务——译自AMS好意思国数学会专栏

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